MOVIMIENTO DE LOS CUERPOS EN DOS DIMENSIONES

MOVIMIENTO DE PROYECTILES

Vamos ahora a utilizar nuestros nuevos conocimientos para ver cómo podemos describir el movimiento de un objeto que se lanza con una determinada velocidad inicial en cualquier dirección. Empecemos por el caso más simple de una bomba que se deja caer desde un avión. En la figura podemos contemplar la trayectoria de una bomba soltada desde un avión que vuela a 1000 m de altura con una velocidad de 600 km/h.

Figura 5. Caída de una bomba desde una avión que vuela a 1000 m de altura con una velocidad de 600 km/h

¿Qué cosas nos pueden interesar aquí?. Bueno, si usted fuera el piloto del avión estaría interesado en cosas como el lugar donde impactará el proyectil, cuánto tiempo tardará en hacerlo y cosas por estilo. Nosotros somos aún más curiosos y nos interesa también la velocidad que lleva el proyectil en cualquier momento, la forma de la trayectoria y todo lo relacionado con la posición del proyectil en cualquier instante. Desde luego que somos bastante detallistas en esto de la física y el lector podría pensar que se va a complicar mucho el ejercicio de esa manera. Pero si hacemos el supuesto de que los movimientos horizontal y vertical del proyectil se pueden estudiar separadamente, todo empieza a hacerse más sencillo.
Parte horizontal del movimiento
Supongamos ahora que una vez soltado, el proyectil tiende a seguir llevando la misma velocidad que llevaba el avión y en la misma dirección. Pero el lector puede pensar: ¿cómo es esto?. El proyectil debería perder velocidad por dos razones:

1. Por el rozamiento de aire
2. Porque ya no hay ningún motor que lo impulse.
   

Efectivamente, el proyectil pierde algo de velocidad por efectos de rozamiento con el aire, pero la segunda razón es errónea. Hay un principio de la naturaleza que a veces se denomina principio de inercia y que establece que los cuerpos tienden a continuar en la misma dirección y con la misma velocidad que llevaban mientras no haya ninguna fuerza que se lo impida. En otras palabras, no hace falta que nada mueva al proyectil. Este tiende a continuar moviéndose por su propia inercia. Vamos a admitir de momento este principio y más tarde discutiremos los que haya que discutir al respecto. Si despreciamos entonces el rozamiento del aire tenemos, que en la dirección horizontal la rapidez del proyectil es constante y podemos calcular la distancia horizontal que cubre en un determinado tiempo como (ec.[5])

que no es más que otra manera de expresar nuestra ecuación 1



Movimiento vertical
El movimiento vertical se convierte en una simple caída libre de un objeto como ya hemos estudiado. La distancia vertical cubierta por el proyectil viene dada por la expresión 3 que en este caso se convierte en (ec. [6]):

y su velocidad vertical en cada instante de tiempo t viene dada por la expresión 2 = g t
Nuestro ejemplo en concreto
Vamos a empezar por calcular la distancia a la que impacta el proyectil. Estará de acuerdo el lector que esto ocurre cuando el proyectil haya caído los 1000 metros desde los que fue lanzado, es decir, que podemos sustituir en la ec 6

con lo que de paso hemos calculado el tiempo de caída del proyectil. Si ahora lo ponemos en la expresión 5

donde 167 m/s es la velocidad del avión (600 km/h), obtenemos la distancia buscada.
Nos preguntamos ahora con qué velocidad impacta el proyectil en el suelo. Aquí se nos presenta el problema de que tenemos una rapidez horizontal que sigue siendo de 167 m/s y una rapidez vertical que se calcula como:

Cómo se suman estas dos contribuciones para obtener la velocidad. La respuesta es mediante la ley de adición vectorial. No se asuste el lector, pues el asunto es más sencillo que lo que el nombre indica.

Figura 6. Representación del instante de impacto de la bomba contra el suelo.

Si nos fijamos en la figura 6 podemos ver como el truco para calcular la verdadera velocidad a partir de la rapidez horizontal y vertical no es más que la aplicación del teorema de Pitágoras a nuestro caso particular. Es decir, tenemos que calcular el valor de la hipotenusa del triángulo que se muestra en la figura 6 como

Otra cosa que nos podría interesar es el ángulo con el que se produce la caída de la bomba. El truco consiste en ver la relación existente entre los lados del triángulo, es decir, 140/167. Este número nos da lo que se denomina en matemáticas la tangente del ángulo. Por tanto, para calcular el ángulo no tenemos más que hacer la tangente inversa de esta cantidad y obtenemos unos 40º.
Por último me gustaría señalar el tipo de curva que sigue un proyectil en su movimiento. Todos hemos oído en la retransmisión de un partido de fútbol al locutor diciendo aquello de: "el balón describe una bonita parábola". La parábola es una curva matemática que se obtiene fácilmente si uno coge en un eje horizontal y pinta marcas igualmente espaciadas y en un eje vertical donde pinta rayas espaciadas cantidades que se multiplican sucesivamente por 1,4,9,16... veces la unida elegida. Esto es, según los cuadrados de los enteros. De forma general una parábola es una curva que relaciona la distancia vertical y con distancia horizontal x de la forma

siendo a, b, c números cualesquiera.

Para ver que efectivamente nuestro proyectil sigue una curva de este tipo solamente tenemos que eliminar el tiempo t de las ecuaciones 5 , 6 y obtener una relación entre la distancia recorrida verticalmente y la cubierta horizontalmente. Quede esto como ejercicio para los lectores más interesados en la matemática del asunto.

MOVIMIENTO DE LOS CUERPOS EN DOS DIMENSIONES

MOVIMIENTO DE TRAYECTORIA BIDIMENSIONAL

TIRO PARABÓLICO

Objetivo: Adquirir conocimiento sobre el tiro parabólico y la aplicación de formulas para la resolución de problemas.

Introducción

El tiro oblicuo es un caso de composición de dos movimientos perpendiculares, uno rectilíneo y uniforme(MRU) sobre el eje X y otro rectilíneo uniformemente variado(MRUV) sobre el eje Y. A partir de las ecuaciones de posición, velocidad y de la ecuación de la trayectoria(parábola) se resuelven todas las situaciones posibles(prescindiendo del rozamiento con el aire).

Los Vuelos parabólicos se usan desde muchos años con regularidad para obtener por un tiempo corto condiciones sin gravedad. Esto sirve para el entrenamiento de astronautas pero también para probar equipo en condiciones de ausencia de gravedad. Nótese, que la gravedad de hecho no es ausente sonó compensado por fuerzas virtuales del vuelo parabólico.

Esto es según yo se la única aplicación del vuelo parabólico, porque las trayectorias de ifles o cánones no son realmente parabólicas debido a la fricción del proyectil en el aire. Por ende la parábola es una aproximación muy burda que no sirve para calcular trayectorias de artillería. Entonces porque existen vuelos parabólicos en la atmósfera? La razón es que los motores del avión pueden compensar las pérdidas por fricción en forma muy exacta.

¿A que se le denomina tiro parabólico?

Se denomina tiro parabólico, en general, a aquellos movimientos que suceden de forma bidimensional sobre la superficie de la tierra.

Para este tipo de móviles el movimiento se descompone en sus componentes X e Y. El movimiento en X no sufre aceleración, y por tanto sus ecuaciones serán

pero enh cambio en el eje Y se deja sentir la fuerza de la gravedad, supuesta constante y por tanto sus ecuaciones serán

Algunas preguntas típicas del tiro parabólico son calcular el alcance y altura máxima. Estas preguntas se pueden contestar sabiendo que la altura máxima se alcanzará cuando. De esta condición se extrae el tiempo que tarda en alcanzar la altura máxima y sustituyendo en la ecuación de lasse obtiene la altura máxima. El alcance máximo se puede calcular razonando que, para cuando esto suceda, el móvil volverá estar al nivel del suelo y por tanto, sustituyendo se obtieney, sustituyendo éste en lasel resultado. Otras cantidades se pueden conseguir de manera similar.

MOVIMIENTOS DE LOS CUERPOS EN UNA DIMENSIÓN

MOVIMIENTO DE TRAYECTORIA UNIDIMENSIONAL

Objeto del trabajo práctico

• Estudio cinemático de un movimiento unidimensional

• Determinaciones de las relaciones gráficas entre las variables medidas

• Deducir que tipo de movimiento se produjo y justificarlo

MATERIALES

• Riel de suspensión neumática: Este dispositivo consta básicamente de un caño que tiene perforaciones es sus dos caras superiores , por dichas perforaciones sale aire a presión mediante el cual se mantiene en suspensión un cuerpo y como consecuencia el rozamiento entre el riel y el móvil es prácticamente despreciable . el mismo posee tornillos de nivelación que permiten nivelarlo o inclinarlo según convenga .

El móvil tiene un puente que une un electrodo positivo con uno negativo, a través de un dieléctrico (aire); desde una fuente de alto voltaje de genera una diferencia de potencia de aproximadamente 10.000 V pulsantes, con una frecuencia regulable

Cuando el cuerpo se desplaza se conecta la fuente y comienza a producirse un arco voltaico entre el electrodo positivo, el puente y el negativo ,dado que entre estos últimos se coloca un papel termo sensible , al generarse cada pulso se produce una chispa y la misma marca dicho papel indicando la posición del móvil en ese instante, por lo tanto se obtiene las sucesivas posiciones del móvil a través del tiempo, ya que el intervalo de tiempo en el cual se producen cada chispa se ha seleccionado previamente

• Cinta métrica

Marco teórico

Cinemática

• La cinemática es el estudio del movimiento. La Cinemática trata de la posición, la velocidad y la aceleración. No se especifica la naturaleza de la partícula u objeto cuyo movimiento se está estudiando.

Movimiento rectilíneo uniforme

• Un movimiento es uniforme cuando el móvil recorre distancias iguales en tiempos iguales

O sea

"X1 = "X2 = "X3 = "Xn

"T1 = "T2 = "T3 = "Tn

Movimiento rectilíneo uniformemente variado

• Movimiento variado es aquél cuya velocidad no es constante

O sea

"V1 = "V2= "V3 = "Vn

"T1 = "T2 = "T3 = "Tn

.

Desarrollo:

Primero comenzamos por tomar las medidas del riel y de los dos extremos del mismo hasta la base (lo que luego representara un plano inclinado), después colocamos el papel termosensible en el riel de suspensión neumática, nivelamos el mismo sacándole suplementos para que el móvil no se mueva; después lo volvimos a desnivelar ,encendimos la aspiradora(reformada para expulsar aire a presión ) y dejamos caer el cuerpo, para que durante su desplazamiento marcara su trayectoria en el papel termosensible; luego

retiramos dicho papel y tomamos las medidas de los puntos que marco el electrodo con la cinta métrica, para poder rellenar el cuadro de valores y de esa manera realizar el informe

Tabla de valores

Gráficos

cálculos

Xp=2 Xi Xp=777,3cm =55,52cm

N 14

Tp=2 Ti² Tp=253,75S²=18,12S²

N 14

Por lo tanto para determinar la aceleración del cuerpo , según el ángulo de inclinación

Ar = aceleración real

Ar =2.Xp = 2. 55.52 cm=111,04 cm= 6,12 cm/seg2

Tp2 18,12 S2 18,12 S2

Angulo

Ángulo: seno ángulo= a / b

seno angulo= 1,8 cm. / 163 cm.= 0,011

arco seno 0,011= 37´40´´

Ángulo= 37´40´´

a teórica= gravedad x seno ángulo = aproximada = a real

a teórica= 981 m/s2 x 0,011=10,79 m/seg2

a teórica= aproximada = 10,79 m/seg2

Conclusión :se observo que la representación gráfica de X = f ( t2) es una recta ,esto comprueba que el movimiento del cuerpo es uniformemente variado.

La aceleración teórica es distinta a la aceleración real; debido a que hubo un error cuando se trabajo en el Laboratorio ,pero de todas maneras la experiencia me pareció muy buena, aunque los resultados no fueron los esperados

a=1,8 cm

b=164,3 cm

MOVIMIENTOS DE LOS CUERPOS EN UNA DIMENSIÓN

La cinemática estudia los movimientos de los cuerpos independientemente de las causas que lo producen. En este capítulo, estudiaremos los movimientos rectilíneos y curvilíneos, y circulares.

En el caso del movimiento rectilíneo, se simularán dos prácticas que realizan los estudiantes en el laboratorio, que consiste en un móvil que desliza por un carril sin apenas rozamiento. En la primera práctica simulada, se determinará la velocidad constante de un móvil, en la segunda, se determinará la aceleración de un móvil en movimiento uniformemente acelerado.
Ambas prácticas, se prestan especialmente para representar en una gráfica los datos obtenidos y aplicar el procedimiento denominado regresión lineal, trazando la recta que mejor ajusta a los resultados experimentales. Se completa aquí el capítulo primero, en la parte correspondiente a las medidas.

Dos programas interactivos están dedicados a ayudar a los estudiantes a resolver problemas de cinemática. El estudiante puede observar el movimiento de caída de los cuerpos, establecer la posición y la velocidad inicial, y parar el movimiento en cualquier momento. Anotar los valores posición y velocidad del móvil en cualquier instante, y en particular, cuando éste alcanza la altura máxima o regresa al origen. Los valores que el estudiante obtiene resolviendo las ecuaciones del movimiento los puede comparar con los que proporciona el programa interactivo.
La necesidad de establecer un origen y un sistema de referencia para describir un movimiento se pone de manifiesto en la resolución de problemas de caída de los cuerpos. Muchos estudiantes siguen un procedimiento equivocado. Por ejemplo, cuando un cuerpo es lanzado verticalmente hacia arriba calculan la "distancia" recorrida por el cuerpo hasta que alcanza su altura máxima, y luego, la que recorre hasta que llega al suelo, consideran la aceleración negativa como definición del movimiento desacelerado, y les sorprende el signo negativo en la velocidad o en la posición del móvil.



En este capítulo se representan gráficas que describen el movimiento de una partícula. La interpretación de las gráficas es una habilidad que han de conseguir los estudiantes, ya que una gráfica muestra de un vistazo el comportamiento o una tendencia de un fenómeno físico, información que no se puede conseguir mirando una tabla con los mismos datos. La interpretación de las gráficas, posición-tiempo, velocidad-tiempo y aceleración-tiempo, no es tan evidente como pudiera parecer (Beichner 1994).
La principal dificultad de orden didáctico estriba en que los estudiantes no diferencian bien entre el valor de una magnitud y la razón de su cambio con el tiempo. Esta dificultad se pone de manifiesto en las situaciones en las que la velocidad es cero pero la aceleración es distinta de cero, por ejemplo, cuando un móvil que se lanza verticalmente hacia arriba alcanza su altura máxima.



Otros dos programas interactivos, se pueden calificar como problemas-juego, y tratan como otros que se verán a lo largo de este curso, de hacer una Física más intuitiva y divertida. Son programas simples pero significativos desde el punto de vista de la Física. En el primero, se tratará de apuntar con un cañón a un blanco fijo. El estudiante se dará cuenta que hay dos posibles soluciones a este problema. En el segundo, se tratará de bombardear un blanco móvil.



Ambas situaciones se resolverán por el procedimiento de prueba y error en el menor número de intentos posibles. Posteriormente, se sugiere al estudiante, que resuelva numéricamente el problema y acierte al primer intento.



Aplicaremos lo aprendido sobre el tiro parabólico a situaciones de la vida diaria y en concreto, al popular juego del baloncesto. Examinaremos con detalle todos los elementos que entran en el juego del baloncesto: la canasta, el balón, el aro y el tablero.



El estudio de las distintas situaciones nos permitirá conectar con otras partes de la Física, como la Óptica, al estudiar el efecto del tablero, con la Dinámica, al estudiar el choque del balón contra el suelo, con las Oscilaciones al estudiar la deformación del balón cuando choca con una pared rígida, y con el fenómeno de la dispersión, al estudiar el choque del balón con el aro.

Los estudiantes resuelven sin dificultad problemas de encuentros entre dos móviles en movimiento rectilíneo uniforme o uniformente acelerado, por ejemplo, policías que persuiguen a ladrones. Sin embargo, tienen dificultades para hallar el instante de encuentro (por primera vez) de dos móviles en movimiento circular uniforme o uniformente acelerado. Se ha diseñado un applet que recrea uno de estos problemas y que muestra que en una trayectoria circular hay múltiples encuentros, y enseña a diferenciar entre posición y desplazamiento angular.

RELACIÓN DE LA FÍSICA CON OTRAS CIENCIAS

CONCEPTOS TRIGONOMÉTRICOS

En matemáticas , las funciones trigonométricas son las funciones que se definen a fin de extender la definición de las razones trigonométricas todos los números reales y complejos.

Las funciones trigonométricas son de gran importancia en física ,astronomía ,cartografía ,náutica ,telecomunicaciones la representación de fenómenos periódicos, y otras muchas aplicaciones.

CONCEPTOS BÁSICOS

Identidades trigonométricas fundamentales.

Las Razones trigonométricas se definen comúnmente como el cociente entre dos lados de un triangulo rectángulo asociado a sus ángulos. Las funciones trigonométricas son funciones cuyos valores son extensiones del concepto de razón trigonométrica en un triángulo rectángulo trazado en una circunferencia unitaria (de radio unidad). Definiciones más modernas las describen como series infinitas o como la solución de ciertas ecuaciones diferenciales, permitiendo su extensión a valores positivos y negativos, e incluso a números complejos.

Existen seis funciones trigonométricas básicas. Las últimas cuatro, se definen en relación de las dos primeras funciones, aunque se pueden definir geométrica mente o por medio de sus relaciones. Algunas funciones fueron comunes antiguamente, y aparecen en las primeras tablas, pero no se utilizan actualmente; por ejemplo el verseno (1 − cos θ) y la exsecante (sec θ − 1).

RELACIÓN DE LA FÍSICA CON OTRAS CIENCIAS

TRATAMIENTO DE ERRORES

Tratamiento de errores

En física se estudian diferentes modelos matemáticos que intentan explicar de modo aproximado cómo se comporta la naturaleza e intentar predecir las consecuencias en determinados experimentos. Si el modelo no falla en sus predicciones se va consolidando poco a poco en la teoría física. Sin embargo, desde el momento en el que falla se debe abandonar o, como mucho, limitar su aplicabilidad.

Sin embargo también pueden ser los experimentos los que fallen. No quiero decir, por supuesto, que la naturaleza se confunda y en vez de haber gravedad atractiva veamos como, al soltar una bolita, ésta escapa de la Tierra. Me refiero a que, cuando tomamos datos en un experimento, estos datos presentan cierta incertidumbre.

Cuando medimos una distancia con una regla milimetrada puede ocurrir que la distancia esté justo entre dos marcas del milímetro. Si medimos un voltaje con un polímetro podemos ver que este oscile entre dos valores. Por tanto, cada medida viene con un error intrínseco que en general se escribe como

Estos errores se tienen que tratar a la hora de realizar los informes de los experimentos y propagarlos a las cantidades que querramos determinar a partir de ellos. Por ejemplo, con una regla y un cronómetro podemos medir la distancia que recorrió un objeto y el tiempo que tardó, pero no medimos directamente su velocidad, por lo que el error en la velocidad vendrá dada a partir del error en la distancia y el error en el tiempo.

Tipos de errores

Básicamente hay tres tipos de errores diferentes:

• Sistemáticos: Estos errores vienen, como su nombre indica, por sistema. Puede que empleemos una regla mal graduada en que cada centímetro mida en realidad 13 milímetros, o puede que nos hayamos olvidado de sumar el diámetro de una bola a la hora de marcar la distancia entre la bola y un punto. Estos errores hay que intentar evitarlos y, en caso de cometerlos, darse cuenta a tiempo. Generalmente el valor verdadero de la magnitud a medir no se encuentra en la región de los datos tomados.
• Estadísticos: Estos errores vienen dados por motivos muy diversos. En este caso el valor verdadero de la magnitud a medir está en la región de los datos tomados.
• Incertidumbres: Estos errores son causados por la precisión del aparato que empleamos para medir, que puede ser menor o igual a las fluctuaciones estadísticas de la medida.

Cifras significativas. Notación científica

Las cifras significativas son aquellas que aportan información útil en un número. Las cifras no significativas son las que aparecen como resultados del cálculo. Se consideran cifras significativas aquellas que tienen igual o mayor peso que el error de un número. Por ejemplo, si tenemos la magnitud las cifras a partir de la centésima de kelvin (incluída ésta) no aportan nada nuevo, pues son de mucha menor magnitud que el error y entran dentro de las fluctuaciones. También se considera que los ceros no son cifras significativas, excepto cuando estén entre dos cifras distintas de cero. Por ejemplo tiene dos cifras significativas, tiene una cifra significativa, pero tiene tres.

Esto se suele resolver empleando notación científico. En estos tres últimos casos, en notación científica escribimos ,y. Como vemos el número de cifras significativas en notación científica es trivial.

Hay que hacer notar que la medida se tiene que dar hasta el peso del error. Supongamos que tenemos una medida con un error de un milímetro, en ese caso se debe escribir.

Redondeo de números

Por tanto, cuando tenemos cifras no significativas hay que eliminarlas, pero no simplemente borrándoles, sino redondeando. Es obvio que si tenemos que redondear a la primera cifra decimal es mucho más correcto escribir que. Generalmente se dan las siguientes reglas de redondeo:

• Si la cifra que se omite es menor que 5, la eliminación se realiza sin más.
• Si la cifra que se omite es mayor que 5, se aumenta en una unidad la última cifra que se conserva.
• Si la cifra que se omite es 5 se elimina si la última cifra retenida es par y se suma uno a la última cifra retenida si es impar

Por supuesto, en el último punto también existe el convenio contrario. Estadística mente son equivalentes.

Especificación de incertidumbres

Ya hemos visto que, en general, el error de un número se escribe como , con. Se considera que el valor verdadero de la magnitud debería estar entrey.

Si lo que queremos es comparar dos medidas con errores diferentes para ver cuál es más precisa usamos el error relativo, que es el cociente entre el error y la medida, de modo que cuanto menor sea este error relativo más precisa será la medida. Para dar el error en porcentaje de la medida no hay más que multiplicar el error relativo por cien.

Asignación del error

Ahora lo que hay que saber es cómo se asigna un error, caben dos posibilidades, que las medidas sean directas (como medir distancias con una regla o el tiempo con un cronómetro) o, por el contrario, indirectas (como medir la resistencia que presenta un circuito y calcular la intensidad de la corriente).

Medidas directas

Cuando las medidas son directas vuelve a haber dos posibilidades, que se halla realizado una sola medida o que se hayan realizado varias.

Si se realiza una sola medida el error que se asigna es la sensibilidad del objeto que se use para medir (si es una regla graduada en milímetros el error será de un milímetro), o bien un error tal que recoja las fluctuaciones del objeto con la que se está midiendo.

Si se realizan medidas se empleará como valor real la media aritmética de todas ellas:

Y para el error se empleará la desviación típica del valor medio:

Medidas indirectas

Para calcular medidas indirectas que son función de otras () se actuará de la siguiente manera.

El valor de la medida no será otro que la solución a la función, y el valor del error se calculará según las siguientes expresiones:

Si las variables fueron medidas una sola vez:

Y si las variables fueron medidas varias veces:

Medias ponderadas

Cuando tenemos varias medias de un mismo valor con sus respectivos errores podemos calcular un valor con su error de manera que tengan más peso los valores más precisos mediante la fórmula:

Y su error vendrá dado por:

Ajuste a una recta

En ocasiones querremos representar los datos que tenemos y hallar la función que describe su comportamiento. Cuando esta función es una recta de la forma se emplea el Método de los Mínimos Cuadrados, que nos da el valor de los coeficientes y con su error, de este modo:

		(1)
		(2)

Para medir la calidad de este ajuste, es decir, si los datos están más o menos cerca de los valores teóricos que nos da la recta calculada, se emplea el coeficiente de correlación, que está acotado entre y . Este coeficiente es tanto mejor cuanto más se acerque a alguno de estos valores y peor cuanto más se acerque a cero. La fórmula de coeficiente de correlación es: